valeur efficace d'un signal périodique

Bonjour

Suite à un discussion avec ambroise (pas ambroise paré), j'ai décidé de plaçer ce sujet lié avec électronique, électricité
Cela commençe par :
Loi d'Ohm v = r i
Puissance p = v i
Je continue :
i = v/r
p = v i = v v/r = r i i = v²/r = r i²
La puissance p dépend donc (à r près) de v² ou de i²

En fait ce que l'on appelle valeur efficace tension est racine carrée de v², soit v
et pareil pour l'intensité (le courant) racine carrée de i², soit i

En courant continu (Direct Current), la tension est constante dans le temps (à switch on puis switch off près)
et cela donne
P = E²/R = R I²
valeur efficace tension = E tout simplement, comme valeur efficace intensité = I

La définition mathématique donne
(valeur efficace tension)² = ( ) intégrale de v² dt
comme v = E, bien sûr cela donne E

Avant de passer en A C, un rappel sur la notion de signal périodique de période T
il se définit par s(t) = s(t+T) = s(t+2T) = .. = s(t+nT)
et par s(t) = s(t-T) = s(t-2T) = .. = s(t-nT)

En courant alternatif (Alternating Current), la tension varie dans le temps selon l'équation VM sin(wt)
ou VM sin(2pifT) ou encore selon l'équation VM cos(wt), c'est une question de déphasage de 90° (pi/2 radians)
Précisons w = 2 pi f = 2 pi / T car f = 1/T

cela donne
(Valeur efficace tension)² = (1/T) intégrale de 0 à T de [ VM sin(wt) ]² dt
= (1/T) intégrale de 0 à T de VM² sin(wt)² dt
= (1/T) VM² intégrale de 0 à T de sin(wt)² dt
cos(2wt) = cos²(wt) - sin²(wt)
cos²(wt) = 1 - sin²(wt)
cos(2wt) = 1 - 2 sin²(wt)
2 sin²(wt) = 1 - cos(2wt)
sin²(wt) = 0.5 - 0.5 cos(2wt)
= (1/T) VM² intégrale de 0 à T de [ 0.5 - 0.5 cos(2wt) ] dt
= (1/T) VM² 0.5 intégrale de 0 à T de [ 1 - cos(2wt) ] dt
0.5 = 1/2 = 1 / (1.414)² = (1/1.414)² = 0.707²
= (1/T) VM² 0.707² intégrale de 0 à T de [ 1 - cos(2wt) ] dt
= (1/T) (0.707 VM)² intégrale de 0 à T de [ 1 - cos(2wt) ] dt
(1/T) intégrale de 0 à T de (1) dt
= (1/T) [t]0:T
= (1/T) [T-0]
= (1/T) T
= 1
(1/T) intégrale de 0 à T de cos(2wt) dt
[ sin(2wt) ]' = 2w cos(2wt)
[ sin(2wt) / 2w ]' = cos(2wt)
= (1/T) [ sin(2wt) / 2w ]0:T
= (1/2wT) [ sin(2wt) ]0:T
sin(0) = 0
sin(2wT) = sin(2 2pi fT) = sin(2 2pi) = 0
= (0.707 VM)²
et Valeur efficace tension = VM 0.707 comme Valeur efficace intensité = IM 0.707
en outre
VM 0.707 / IM 0.707 = VM / IR = R
VM 0.707 IM 0.707 = VM IM 0.5 = VM IM / 2 = Puissance

Je finis avec nos prises de courant, aujourd'hui avec la tension de 230 Volts (ou V~ car A C)
autrefois 220 et 127 encore avant
Cette valeur de 230 est en fait celle de la valeur efficace de la tension
En effet (visible à l'oscilloscope) la tension à une prise en fait évolue entre -VM et +VM
car l'équation est VM sin(wt), en faisant grâce du déphasage phi
VM vaut donc 230*1.414 = 230 / 0.707 = 325 Volts
Oui elle varie de façon périodique (50 fois par seconde donnant T = 1/50 = 0.02s = 20ms)
entre -325 et +325 Volts

Pour les installations électriques, je vérifie l'isolement avec mon Mégohmmètre (acheté chez Conrad)
Oui on dit bien Mégohmmètre et non Mégaohmmètre comme on devrait
Dans cet appareil, on choisit la tension de mesure (125 250 500 1000 V= ou V continue)
Pour ma part, je fais avec la tension continue de 250V, bien que je sais qu'il y a VM = 325V
Je tiens compte en fait que des appareils ont des parasurtenseurs à l'intérieur
Je complète avec une mesure de Ifuite capacitif à partir de la Phase en amont
(d'ailleurs Mégohmmètre et Ifuite, je ne l'ai pas fait chez Phil, ce sera pour la next fois)

Je finis avec la puissance
une tension continue de 230V donnera la même puissance qu'une tension alternative efficace de 230V
bien qu'en réalité cette dernière évolue entre -325V et +325V
oui nous avons sin() pour la tension et sin²() pour la puissance
logique car sin() entre -1 et +1 et sin²() entre 0 et +1, et la puissance est tj > 0

Pour un signal de forme E0 + E1 sin(wt) + E2 sin(2wt) + .., et pour ceux celles qui aiment
ce signal alimentant une résistance R donne une puissance totale de
E0²/R + 0.5 E1²/R + 0.5 E2²/R + ..

j'avais vu ça à l'ecole mais ça date....